Estatística ou Bioestatística
Unidade – Testes de Hipóteses
Teste t-Student
Existe uma distribuição muito parecida com a distribuição normal, que é a distribuição t-Student.
Tal distribuição de probabilidades tem uma curva muito parecida com a da normal padronizada.
Distribuição norma padronizada (linha cheia) e a distribuição t (tracejado)
A utilização da
distribuição t pressupõe normalidade dos dados da amostra.
Na prática, para
amostras pequenas (n < 30), a população da qual a variável foi submetida à
amostragem deve ter distribuição normal para se utilizar a estatística t.
Já para amostras
grandes, isto não é necessário.
Assim como para a
distribuição normal, existe uma tabela padronizada para a distribuição t, sendo
que a utilização se difere da tabela z nos seguintes aspectos :
1. O valor de z na
tabela independe do valor de n (elementos da amostra), enquanto o valor de t
depende do número de graus de liberdade (gl),
que vale n-1
2. Enquanto, para a
tabela z, encontra-se a probabilidade de um valor entre 0 e z, para a tabela t,
existem probabilidades pré-estabelecidas, e são as probabilidades dos valores
acima ou abaixo de t.
Se não conhecemos o
desvio padrão populacional devemos recorrer à distribuição t. Realizaremos
então o teste t (na verdade, o teste t será o mais utilizado, pois raramente se
conhece o desvio padrão populacional). Para tanto, devemos calcular o t de teste
(tt)
e compará-lo ao t crítico (tc). O valor genérico do cálculo do valor do tt
é:
Teste t para amostras independentes
Onde
SA e
SB
são os desvios padrões da população A e B, respectivamente,
nA e
nB
são os tamanhos das amostras tomadas de A e B, respectivamente,
XA e
XB são as médias das amostras tomadas de
A e B, respectivamente.
Para encontrarmos o
valor do t crítico, precisamos tanto de α
quanto do número de graus de liberdade, que é igual a nA+ nB -
2.
Exemplo:
Para o VO2max
de uma amostra de 12 mulheres encontrou-se o VO2max de 52,8 ml/kg
para a média e de 3,2 ml/kg para o DP, e, de uma amostra de 12 homens, um valor
de 58,2 para média, e de 4,4 para o DP. Testar a hipótese de que homens têm VO2max
maior que mulheres para uma significância de 5%.
Solução:
H0:
m1 =
m2.
Ou, não há diferença entre VO2max de homens e
mulheres.
H1:
m1
> m2.
Ou, homens têm VO2max maior que mulheres.
Como não conhecemos o
desvio padrão populacional, podemos usar o teste t. Como a soma dos tamanhos
das duas amostras é menor que 30, devemos supor ainda que a distribuição da
variável VO2max
tem distribuição normal.
Calculando o t do
teste:
Precisamos encontrar
o t crítico. Recorremos a tabela t, para α=0,05
e 22 graus de liberdade (12 + 12 – 2). Na tabela, encontramos para t o valor
1,717. Como 3,44 > 1,717, ou seja, o t de teste é maior que o t crítico,
rejeitamos a hipótese nula, e podemos dizer que Homens têm VO2max
maior que mulheres com significância de 5%.
Tabela -
Valores críticos da distribuição t de Student
P(|t de Student| ³ valor tabelado) = a Û Valores bilaterais
|
|||||||||
G. L.
|
0.50
|
0.20
|
0.10
|
0.05
|
0.04
|
0.02
|
0.01
|
0.005
|
0.001
|
1
|
1.000
|
3.078
|
6.314
|
12.706
|
15.894
|
31.821
|
63.656
|
127.321
|
636.578
|
2
|
0.816
|
1.886
|
2.920
|
4.303
|
4.849
|
6.965
|
9.925
|
14.089
|
31.600
|
3
|
0.765
|
1.638
|
2.353
|
3.182
|
3.482
|
4.541
|
5.841
|
7.453
|
12.924
|
4
|
0.741
|
1.533
|
2.132
|
2.776
|
2.999
|
3.747
|
4.604
|
5.598
|
8.610
|
5
|
0.727
|
1.476
|
2.015
|
2.571
|
2.757
|
3.365
|
4.032
|
4.773
|
6.869
|
6
|
0.718
|
1.440
|
1.943
|
2.447
|
2.612
|
3.143
|
3.707
|
4.317
|
5.959
|
7
|
0.711
|
1.415
|
1.895
|
2.365
|
2.517
|
2.998
|
3.499
|
4.029
|
5.408
|
8
|
0.706
|
1.397
|
1.860
|
2.306
|
2.449
|
2.896
|
3.355
|
3.833
|
5.041
|
9
|
0.703
|
1.383
|
1.833
|
2.262
|
2.398
|
2.821
|
3.250
|
3.690
|
4.781
|
10
|
0.700
|
1.372
|
1.812
|
2.228
|
2.359
|
2.764
|
3.169
|
3.581
|
4.587
|
11
|
0.697
|
1.363
|
1.796
|
2.201
|
2.328
|
2.718
|
3.106
|
3.497
|
4.437
|
12
|
0.695
|
1.356
|
1.782
|
2.179
|
2.303
|
2.681
|
3.055
|
3.428
|
4.318
|
13
|
0.694
|
1.350
|
1.771
|
2.160
|
2.282
|
2.650
|
3.012
|
3.372
|
4.221
|
14
|
0.692
|
1.345
|
1.761
|
2.145
|
2.264
|
2.624
|
2.977
|
3.326
|
4.140
|
15
|
0.691
|
1.341
|
1.753
|
2.131
|
2.249
|
2.602
|
2.947
|
3.286
|
4.073
|
16
|
0.690
|
1.337
|
1.746
|
2.120
|
2.235
|
2.583
|
2.921
|
3.252
|
4.015
|
17
|
0.689
|
1.333
|
1.740
|
2.110
|
2.224
|
2.567
|
2.898
|
3.222
|
3.965
|
18
|
0.688
|
1.330
|
1.734
|
2.101
|
2.214
|
2.552
|
2.878
|
3.197
|
3.922
|
19
|
0.688
|
1.328
|
1.729
|
2.093
|
2.205
|
2.539
|
2.861
|
3.174
|
3.883
|
20
|
0.687
|
1.325
|
1.725
|
2.086
|
2.197
|
2.528
|
2.845
|
3.153
|
3.850
|
21
|
0.686
|
1.323
|
1.721
|
2.080
|
2.189
|
2.518
|
2.831
|
3.135
|
3.819
|
22
|
0.686
|
1.321
|
1.717
|
2.074
|
2.183
|
2.508
|
2.819
|
3.119
|
3.792
|
23
|
0.685
|
1.319
|
1.714
|
2.069
|
2.177
|
2.500
|
2.807
|
3.104
|
3.768
|
24
|
0.685
|
1.318
|
1.711
|
2.064
|
2.172
|
2.492
|
2.797
|
3.091
|
3.745
|
25
|
0.684
|
1.316
|
1.708
|
2.060
|
2.167
|
2.485
|
2.787
|
3.078
|
3.725
|
26
|
0.684
|
1.315
|
1.706
|
2.056
|
2.162
|
2.479
|
2.779
|
3.067
|
3.707
|
27
|
0.684
|
1.314
|
1.703
|
2.052
|
2.158
|
2.473
|
2.771
|
3.057
|
3.689
|
28
|
0.683
|
1.313
|
1.701
|
2.048
|
2.154
|
2.467
|
2.763
|
3.047
|
3.674
|
29
|
0.683
|
1.311
|
1.699
|
2.045
|
2.150
|
2.462
|
2.756
|
3.038
|
3.660
|
30
|
0.683
|
1.310
|
1.697
|
2.042
|
2.147
|
2.457
|
2.750
|
3.030
|
3.646
|
31
|
0.682
|
1.309
|
1.696
|
2.040
|
2.144
|
2.453
|
2.744
|
3.022
|
3.633
|
32
|
0.682
|
1.309
|
1.694
|
2.037
|
2.141
|
2.449
|
2.738
|
3.015
|
3.622
|
33
|
0.682
|
1.308
|
1.692
|
2.035
|
2.138
|
2.445
|
2.733
|
3.008
|
3.611
|
34
|
0.682
|
1.307
|
1.691
|
2.032
|
2.136
|
2.441
|
2.728
|
3.002
|
3.601
|
35
|
0.682
|
1.306
|
1.690
|
2.030
|
2.133
|
2.438
|
2.724
|
2.996
|
3.591
|
36
|
0.681
|
1.306
|
1.688
|
2.028
|
2.131
|
2.434
|
2.719
|
2.990
|
3.582
|
37
|
0.681
|
1.305
|
1.687
|
2.026
|
2.129
|
2.431
|
2.715
|
2.985
|
3.574
|
38
|
0.681
|
1.304
|
1.686
|
2.024
|
2.127
|
2.429
|
2.712
|
2.980
|
3.566
|
39
|
0.681
|
1.304
|
1.685
|
2.023
|
2.125
|
2.426
|
2.708
|
2.976
|
3.558
|
40
|
0.681
|
1.303
|
1.684
|
2.021
|
2.123
|
2.423
|
2.704
|
2.971
|
3.551
|
41
|
0.681
|
1.303
|
1.683
|
2.020
|
2.121
|
2.421
|
2.701
|
2.967
|
3.544
|
42
|
0.680
|
1.302
|
1.682
|
2.018
|
2.120
|
2.418
|
2.698
|
2.963
|
3.538
|
43
|
0.680
|
1.302
|
1.681
|
2.017
|
2.118
|
2.416
|
2.695
|
2.959
|
3.532
|
44
|
0.680
|
1.301
|
1.680
|
2.015
|
2.116
|
2.414
|
2.692
|
2.956
|
3.526
|
45
|
0.680
|
1.301
|
1.679
|
2.014
|
2.115
|
2.412
|
2.690
|
2.952
|
3.520
|
46
|
0.680
|
1.300
|
1.679
|
2.013
|
2.114
|
2.410
|
2.687
|
2.949
|
3.515
|
47
|
0.680
|
1.300
|
1.678
|
2.012
|
2.112
|
2.408
|
2.685
|
2.946
|
3.510
|
48
|
0.680
|
1.299
|
1.677
|
2.011
|
2.111
|
2.407
|
2.682
|
2.943
|
3.505
|
49
|
0.680
|
1.299
|
1.677
|
2.010
|
2.110
|
2.405
|
2.680
|
2.940
|
3.500
|
50
|
0.679
|
1.299
|
1.676
|
2.009
|
2.109
|
2.403
|
2.678
|
2.937
|
3.496
|
60
|
0.679
|
1.296
|
1.671
|
2.000
|
2.099
|
2.390
|
2.660
|
2.915
|
3.460
|
70
|
0.678
|
1.294
|
1.667
|
1.994
|
2.093
|
2.381
|
2.648
|
2.899
|
3.435
|
80
|
0.678
|
1.292
|
1.664
|
1.990
|
2.088
|
2.374
|
2.639
|
2.887
|
3.416
|
90
|
0.677
|
1.291
|
1.662
|
1.987
|
2.084
|
2.368
|
2.632
|
2.878
|
3.402
|
100
|
0.677
|
1.290
|
1.660
|
1.984
|
2.081
|
2.364
|
2.626
|
2.871
|
3.390
|
110
|
0.677
|
1.289
|
1.659
|
1.982
|
2.078
|
2.361
|
2.621
|
2.865
|
3.381
|
120
|
0.677
|
1.289
|
1.658
|
1.980
|
2.076
|
2.358
|
2.617
|
2.860
|
3.373
|
¥
|
0.674
|
1.282
|
1.645
|
1.960
|
2.054
|
2.326
|
2.576
|
2.807
|
3.290
|
 P(t
de Student ³ valor tabelado) = a Û Valores unilaterais |
|||||||||
OBS.:(1) G. L. = Graus de Liberdade
(2) Para valores à esquerda, i. é, teste unilateral à esquerda
(ou mesmo bilateral), basta trocar o sinal dos valores da tabela,
pois a distribuição t é simétrica em torno de zero.
